Hilgert J.'s Analysis I - IV PDF

By Hilgert J.

Der vorliegende textual content ist eine vorlaufige Ausarbeitung meiner Vorlesungen research I-IV (Wintersemester 2004/2005 { Sommersemester 2006) an der Universitat Paderborn.

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Wenn f (x) ≤ g(x) f¨ ur alle x, f¨ ur die f und g definiert sind, dann gilt lim f (x) ≤ lim g(x). Beweis: 38 KAPITEL 2. 4 anwenden. Wir f¨ uhren den Beweis wieder f¨ ur die rechtsseitigen Grenzwerte (die beiden anderen F¨alle lassen sich wieder w¨ortlich u ¨bertragen). 4(ii), daß y := limx→x0 + (f − g)(x) > 0. Dann gibt es ein δ > 0 mit |f (x) − g(x) − y| < y2 f¨ ur x ∈ ]x0 , x0 + δ[ ∩M . Es folgt ∀ x ∈ ]x0 , x0 + δ[ ∩M : 0 < 3y y < f (x) − g(x) < 2 2 im Widerspruch zur Voraussetzung. y 2 y 2 y y 2 3y 2 Also haben wir limx→x0 + f (x) ≤ limx→x0 + g(x).

6 gilt (−x) − (−n) = n − x. Also ist −n eine untere Schranke von −X. Genauso sieht man, daß f¨ ur jede untere Schranke m von −X die Zahl −m eine obere Schranke von X ist. 1 findet man ein gr¨oßte untere Schranke m ∈ Z von −X. Wir behaupten, daß −m die kleinste obere Schranke von X ist. Dazu sei n ∈ Z eine obere Schranke von X, also −n eine untere Schranke von −X. Dann folgt −n ≤ m und daher −m ≤ n. Die Umkehrung wird ganz analog bewiesen. 4 : Man kann, so wie auch f¨ ur die nat¨ urlichen Zahlen (vgl.

Die intuitive Vorstellung zur Aussage f (x) hat in x0 den Grenzwert y“ ist: ” f (x) ist beliebig nahe an y, wenn nur x nahe genug an x0 ist“. ” Um diese Vorstellung pr¨azise formulieren zu k¨onnen, muß man zun¨achst sicherstellen, daß die Funktion in den Punkten, die nahe“ bei x0 sind, u uhrt auf den Begriff des Intervalls. ¨berhaupt definiert ist. Dies f¨ ” Seien a, b ∈ R und a < b. Dann heißen die Mengen [a, b] := {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} ]a, b] := {x ∈ R | a < x ≤ b} [a, b[ := {x ∈ R | a ≤ x < b} ]a, b[ := {x ∈ R | a < x < b} von a und b begrenzte Intervalle.

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Analysis I - IV by Hilgert J.

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